Utiliser des problèmes/exercices résolus pour encourager les élèves à analyser raisonnement algébrique et stratégies

Par rapport aux mathématiques élémentaires (comme l’arithmétique), résoudre des problèmes d’algèbre oblige souvent les élèves à réfléchir de manière plus abstraite. Le raisonnement algébrique exige que les élèves traitent plusieurs informations complexes simultanément, ce qui peut limiter leur capacité à initier de nouveaux apprentissages.

Utiliser des problèmes résolus pour encourager les élèves à analyser le raisonnement algébrique et les stratégies peut minimiser le fardeau du raisonnement abstrait en permettant aux étudiants à la fois d’analyser le problème et les étapes de résolution sans exécuter chaque étape. L’analyse et la discussion de problèmes résolus peuvent aussi aider les élèves à développer la compréhension des processus logiques utilisés pour résoudre les problèmes d’algèbre. Les discussions liées à l’utilisation de problèmes résolus incomplets ou incorrects peuvent encourager les élèves à penser de façon critique (ces discussions se font en classe entière, petit groupe ou binôme).

Ce type de pratique est étudiée dans la méta-analyse de Hattie :

  • effet de la discussion en classe – 0.88 (7e rang);
  • effet des problèmes résolus – 0.61 (25e rang).

Exemple 1 :

2 \cdot (x - 4) + 1 = 6x
2x - 8 + 1 = 6x
2x -2x - 8 + 1 = 6x - 2x
-8 + 1 = 6x - 2x
-7 = 4x
-7 :4 = 4x : 4
 \frac{-7}{4} = x

Quelques exemples de questions pour analyser la résolution :

  • Quelles sont les étapes de résolution de l’exercice ? Pourquoi les réaliser dans cet ordre ? Pourrait-on travailler dans un ordre différent ?
  • L’exercice aurait-il pu être résolu avec moins d’étapes ?
  • Pensez-vous qu’il existe une autre manière de résoudre cet exercice ?
  • Cette stratégie fonctionnera-t-elle toujours ? Pourquoi ?
  • Quels sont les autres exercices pour lesquels cette stratégie pourrait fonctionner ?
  • Comment pouvons-nous modifier l’exercice pour que cette stratégie ne fonctionne pas ?
  • Comment améliorer la résolution pour la rendre plus claire ?
  • Quels autres concepts mathématiques sont liés à cet exercice ?
  • Etc.

Exemple 2 :

Résolution d’Anne (correcte) Résolution de Jean (incorrecte)
\begin{cases} 3x -2y=12\\ -x-2y=-20 \end{cases} \begin{cases} 3x -2y=12\\ -x-2y=-20 \end{cases}
3x-2y-(-x-2y)=12-(-20) 3x-2y+(-x-2y)=12+(-20)
3x-2y+x+2y=12+20 2x=-8
4x=32 x=-4
x=8
3 \cdot 8 - 2y=12 3 \cdot (-4) - 2y=12
24 - 2y=12 -12-2y=12
-2y=-12 - 2y=24
y=6 y=-12
Solution : (8;6) Solution : (-4;-12)
  • Enseignant : Qu’est-ce que Jean a fait correctement ?
  • Élève 1 : Il semble que la substitution soit correcte après que x ait été trouvé.
  • E : Qu’est-ce qui vous laisse penser que Jean a substitué correctement ?
  • E2 : Il subsitue x par -4 dans la première équation et recherche y.
  • E : C’est bien mais où est l’erreur dans la résolution de Jean ? Que n’a-t’il pas compris ?
  • E3 : Il a trouvé une mauvaise solution pour x.
  • E : Les termes en x et y sont-ils identiques chez Anne et Jean ?
  • E2 : Les termes en y sont les mêmes.
  • E : Si l’un des termes est le même, quelle est la première étape efficace pour résoudre ce système d’équations ?
  • E3: Soustraire les équations.
  • E : Donc, en regardant la solution incorrecte, et en réfléchissant à ce dont nous venons de discuter, quelle est l’erreur dans la solution incorrecte ?
  • E1 : Jimmy a ajouté les deux équations l’une à l’autre, mais il a soustrait par erreur le terme en y au lieu de l’ajouter.
  • E : C’est correct, et qu’a fait Anne ?
  • E3 : Elle a soustrait correctement les deux équations.
  • E : Comment pouvons-nous vérifier la solution d’Anne ?
  • E2 : Nous pouvons substituer la solution dans les deux équations.

Sources : US Department of Education “Teaching Strategies for Improving Algebra Knowledge in Middle and High School Students”

Huin Fabrice

Enseignant - Auteur Editions Van In - Microsoft Innovative Educator Expert

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